Кручение тонкостенной трубки
Кручение - это такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечном сечении возникают крутящие моменты.
На иллюстрации показан стержень который нагружен по торцам моментами, действующими относительно продольной оси, т.е. крутящими моментами.
Используя метод мысленных сечений, находим величину внутренних усилий, действующих в сечении стержня при кручении. Очевидно, что в данном случае нагружения из шести уравнений равновесия, составленных для отсеченной части стержня относительно внешних сил и внутренних усилий, лишь одно не обращается тождественно в ноль:
Внутренний момент ℳk cчитается положительным, если он действует против часовой стрелки. Смотреть необхоимо на него со стороны внешней нормали поперечного сечения.
Кручение тонкостенной трубки
На иллюстрации показана тонкостенная трубка, нижний торец закреплён.
R - средний радиус между наружной и внутренней поверхностью.
δ - толщина трубки
δ << R
Под действием момента M, верхний торец повернётся относительно продольной оси.
Выделим квадрат на поверхности цилинлра (серые линии).
Под действием момента прямые образующие превращаются в винтовую линию, так как перемещения малы, будем считать, что образуюшая осталась прямой. Таким образом получается, что прямая просто повернулась на угол γ.
γ - угол сдвига
Если нарисовать на цилиндре окружность, то при кручении, мы увидим, что он превратится в эллипс.
Внутренняя и наружная поверхности деформируются одинаково. Рассмотрим выделенный квадрат ближе.
δ - толщина; s - длина по окружности; a - веоьткальная длина.
Зелёным цветом показан фрагмент трубки до нагружения, оранжевым после. Так как трубка не удлиняется, нормальные напряжения отсутсвуют, и мы имеем только касательные напряжения τ.
Под действием этих касательных напряжений меняется прямой угол γ между образующей и направлением касательной к окружности.
Касательные напряжения на двух гранях, верхней τ и боковой τ' равны, это следует из закона парности касательных напряжений.
Мы можем проверить истинность этого утверждения, записав сумму моментов относительно направления R.
τ·δ·s·a = τ'·δ·s·a => τ = τ'
Такое напряжённое состояние называют чистый сдвиг.
Угол γ мы можем выразить через длину трубки L и угол закручивания φ.
L·γ = R·φ => γ=φRL