Напряжения в произвольных наклонных сечениях стержня

Давайте внимательно посмотрим на формулу σ=NA, здесь фигурирует площадь поперечного сечения, т.е. нормальное напряжение N не зависит формы площади, она может быть круглой, квадратной или же тонкостенной. В любом случае фигурирует только одна геометрическая характеристика - это площадь поперечного сечения A.

Однако напряжения будут зависеть от того, какую плоскость мы проведем через сечение стержня. Рассмотрим, что будет если мы разрежем стержень другой плоскостью.

На иллюстрации показан стержень который растягивается силой F, разрежем его поперечным и наклонным сечением. На иллюстрации показано наклонное сечение под углом α.

Рассмотрим напряжения возникающие в данном фрагменте стержня.

В поперечном сечении, напряжение N, нам уже известно
σ=NA

В наклонной плоскости напряжения направлены вдоль оси стержня, поскольку вертикальных нагрузок нет. Однако, это уже не нормальные напряжения и не касательные, это полные напряжения в данной точке тела P_ν.

Их мы можем найти из уравнения равновесия. Если A площадь поперечного сечения, то площадь наклонного сечения будет равняться Acos(α).

И теперь записав сумму сил на горизонтальном направлении получаем:
P_νAcos(α)=σ · A

Сокращая на A мы получаем величину полного напряжения на наклонной площадке:

P_ν=σ · cos(α)

Как нам известно, оперировать полным напряжением неудобно, поэтому разложим его на составляющие.

Выделим небольшой квадрат возле наклонной плоскости.

P_ν - вектор полного напряжения.
σ_v - нормальная составляющая вектора полного напряжения.
τ_v - касательная составляющая вектора полного напряжения.

σ_ν=P_ν · cos(α)=σ · cos²(α)

τ_v=P_ν · sin(α)=12σ · sin(2α)

Нормальные и касательные напряжения в смежных площадках

Чтобы понять какие напряжения будут возникать на смежных гранях, прибавим 90° и 180° к углу α

Для (α+90°)

σ_ν=σ · cos²(α+90°)=σ · sin²(α)=σ`_ν

τ_v=12σ · sin(2α+180°)=-12σ · sin(2α)=-τ_v

Для (α+180°)

σ_ν=σ · cos²(α+180°)=σ_ν

τ_v=12σ · sin(2α+360°)=τ_v

Несложно заметить, что касательные напряжения на всех четырёх гранях будут одинаковы, и будут направлены к ребру или от ребра, в этом заключается закон парности касательных напряжений.
Т.е. касательные напряжения не могут возникнуть только в одной грани.

Так же заметим, что исходя из формул представленных выше, мы можем узнать в каких гранях возникают максимальные касательные напряжения.

Максимальные касательные напряжения возникают при угле α = 45°

τ_v^max=12σ · sin(90°)=σ2