Свойства функций
Основные свойства функций
Изучение свойств функций позволяет проводить их полное исследование, строить графики и решать прикладные задачи.
1. Область определения и область значений
Определение 1. Область определения функции \( f \) — множество всех значений \( x \), для которых функция определена. Обозначается \( D(f) \).
Определение 2. Область значений функции \( f \) — множество всех значений \( y \), которые функция принимает. Обозначается \( E(f) \).
Примеры областей определения:
- \( f(x) = \frac{1}{x} \): \( D(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\} \)
- \( f(x) = \sqrt{x} \): \( D(f) = [0, +\infty) \)
- \( f(x) = \ln x \): \( D(f) = (0, +\infty) \)
- \( f(x) = \tan x \): \( D(f) = \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + \pi k\} \)
Примеры областей значений:
- \( f(x) = x^2 \): \( E(f) = [0, +\infty) \)
- \( f(x) = \sin x \): \( E(f) = [-1, 1] \)
- \( f(x) = e^x \): \( E(f) = (0, +\infty) \)
- \( f(x) = \arctan x \): \( E(f) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \)
2. Чётность и нечётность
Определение 3. Функция \( f \) называется чётной, если:
\( \forall x \in D(f): f(-x) = f(x) \)
Определение 4. Функция \( f \) называется нечётной, если:
\( \forall x \in D(f): f(-x) = -f(x) \)
Чётная функция (симметрия относительно OY)
Нечётная функция (симметрия относительно начала координат)
Свойства чётных и нечётных функций:
- График чётной функции симметричен относительно оси OY
- График нечётной функции симметричен относительно начала координат
- Произведение двух чётных или двух нечётных функций — чётная функция
- Произведение чётной и нечётной функции — нечётная функция
3. Монотонность
Определение 5. Функция \( f \) называется возрастающей на промежутке I, если:
\( \forall x_1, x_2 \in I: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2) \)
Определение 6. Функция \( f \) называется убывающей на промежутке I, если:
\( \forall x_1, x_2 \in I: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2) \)
Возрастающая функция
Убывающая функция
Строгая монотонность:
Если неравенства строгие (\( f(x_1) < f(x_2) \) или \( f(x_1) > f(x_2) \)), то функция называется строго возрастающей или строго убывающей.
4. Ограниченность
Определение 7. Функция \( f \) называется ограниченной сверху на множестве X, если:
\( \exists M \in \mathbb{R}: \forall x \in X: f(x) \leq M \)
Определение 8. Функция \( f \) называется ограниченной снизу на множестве X, если:
\( \exists m \in \mathbb{R}: \forall x \in X: f(x) \geq m \)
Определение 9. Функция называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.
Ограниченная функция
5. Периодичность
Определение 10. Функция \( f \) называется периодической, если существует число \( T \neq 0 \) (период) такое, что:
\( \forall x \in D(f): f(x + T) = f(x) \)
Периодическая функция
Свойства периодических функций:
- Если T — период, то nT также период для любого \( n \in \mathbb{Z} \)
- Наименьший положительный период называется основным периодом
- Постоянная функция периодична с любым периодом
- Сумма периодических функций с соизмеримыми периодами периодична
6. Выпуклость и вогнутость
Определение 11. Функция \( f \) называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если:
\( \forall x_1, x_2 \in (a, b), \forall \lambda \in [0, 1]: f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2) \)
Определение 12. Функция \( f \) называется выпуклой вверх (вогнутой), если неравенство обратное.
Выпуклая вниз функция
Выпуклая вверх (вогнутая) функция
7. Непрерывность
Определение 13. Функция \( f \) называется непрерывной в точке \( x_0 \), если:
\( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \)
Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Непрерывная функция
Разрывная функция
8. Асимптоты
Определение 14. Прямая \( y = kx + b \) называется наклонной асимптотой функции \( f \) при \( x \to +\infty \), если:
\( \lim_{x \to +\infty} [f(x) - (kx + b)] = 0 \)
Определение 15. Прямая \( x = a \) называется вертикальной асимптотой, если:
\( \lim_{x \to a} |f(x)| = +\infty \)
Функция с асимптотами
Методы исследования функций
Общая схема исследования функции
- Найти область определения
- Исследовать на чётность/нечётность
- Найти точки пересечения с осями
- Исследовать на монотонность и экстремумы
- Исследовать на выпуклость и точки перегиба
- Найти асимптоты
- Построить график
Историческая справка
Систематическое изучение свойств функций началось в работах математиков XVIII века. Леонард Эйлер ввёл понятие функции и разработал основы математического анализа.
Большой вклад в развитие теории функций внесли Коши, Вейерштрасс, Риман и другие математики XIX века.
Современная теория функций включает функциональный анализ, теорию меры и интеграла, комплексный анализ.