Операции над множествами
Определение операции над множествами
Операцией над множествами называется правило, по которому из одного или нескольких исходных множеств получается новое множество.
Основные операции над множествами включают: объединение, пересечение, разность, симметрическую разность и дополнение.
1. Объединение множеств
Определение: Объединение множеств A и B (обозначается A ∪ B) — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.
\( A \cup B = \{ x \mid x \in A \text{ или } x \in B \} \)
2. Пересечение множеств
Определение: Пересечение множеств A и B (обозначается A ∩ B) — это множество, содержащее только элементы, принадлежащие одновременно и A, и B.
\( A \cap B = \{ x \mid x \in A \text{ и } x \in B \} \)
3. Разность множеств
Определение: Разность множеств A и B (обозначается A \ B) — это множество элементов A, не принадлежащих B.
\( A \setminus B = \{ x \mid x \in A \text{ и } x \notin B \} \)
4. Симметрическая разность
Определение: Симметрическая разность A и B (обозначается A Δ B) — это множество элементов, принадлежащих только A или только B.
\( A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \)
5. Дополнение множества
Определение: Дополнение множества A (обозначается A' или \( \overline{A} \)) — это множество элементов универсума, не принадлежащих A.
\( \overline{A} = U \setminus A \)
Свойства операций над множествами
| Свойство | Формула |
|---|---|
| Идемпотентность | \( A \cup A = A \) \( A \cap A = A \) |
| Коммутативность | \( A \cup B = B \cup A \) \( A \cap B = B \cap A \) |
| Ассоциативность | \( (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \) \( (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) \) |
| Дистрибутивность | \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \) \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \) |
| Законы де Моргана | \( \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \) \( \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} \) |