Элементарные функции
Элементарные функции
Определение элементарных функций
Определение 1. Элементарные функции — это функции, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций.
Основные элементарные функции включают:
- Степенные функции
- Показательные функции
- Логарифмические функции
- Тригонометрические функции
- Обратные тригонометрические функции
- Постоянные функции
1. Степенные функции
Определение 2. Функция вида \( y = x^a \), где \( a \in \mathbb{R} \) — постоянная.
Свойства степенных функций:
- \( D(f) = \mathbb{R} \) для натуральных a
- \( D(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\} \) для целых отрицательных a
- \( D(f) = [0, +\infty) \) для дробных a
- График всегда проходит через точку (1, 1)
Степенные функции с разными показателями
Частные случаи:
- \( a = 1 \): \( y = x \) (прямая)
- \( a = 2 \): \( y = x^2 \) (парабола)
- \( a = 3 \): \( y = x^3 \) (кубическая парабола)
- \( a = \frac{1}{2} \): \( y = \sqrt{x} \) (квадратный корень)
2. Показательные функции
Определение 3. Функция вида \( y = a^x \), где \( a > 0 \), \( a \neq 1 \).
Свойства показательных функций:
- \( D(f) = \mathbb{R} \)
- \( E(f) = (0, +\infty) \)
- Всегда проходит через точку (0, 1)
- При a > 1 функция возрастает
- При 0 < a < 1 функция убывает
Показательные функции с разными основаниями
Особый случай:
При \( a = e \) (число Эйлера ≈ 2.718) получаем натуральную показательную функцию \( y = e^x \)
3. Логарифмические функции
Определение 4. Функция вида \( y = \log_a x \), где \( a > 0 \), \( a \neq 1 \).
Свойства логарифмических функций:
- \( D(f) = (0, +\infty) \)
- \( E(f) = \mathbb{R} \)
- Всегда проходит через точку (1, 0)
- При a > 1 функция возрастает
- При 0 < a < 1 функция убывает
- Является обратной к показательной функции
Логарифмические функции с разными основаниями
Основные логарифмы:
- \( \log_{10} x \) — десятичный логарифм
- \( \log_e x = \ln x \) — натуральный логарифм
- \( \log_2 x \) — двоичный логарифм
4. Тригонометрические функции
Синус: \( y = \sin x \)
- \( D(f) = \mathbb{R} \)
- \( E(f) = [-1, 1] \)
- Период: \( 2\pi \)
- Нечётная функция
Косинус: \( y = \cos x \)
- \( D(f) = \mathbb{R} \)
- \( E(f) = [-1, 1] \)
- Период: \( 2\pi \)
- Чётная функция
Тангенс: \( y = \tan x \)
- \( D(f) = \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + \pi k\} \)
- \( E(f) = \mathbb{R} \)
- Период: \( \pi \)
- Нечётная функция
Котангенс: \( y = \cot x \)
- \( D(f) = \mathbb{R} \setminus \{\pi k\} \)
- \( E(f) = \mathbb{R} \)
- Период: \( \pi \)
- Нечётная функция
Основные тригонометрические функции
5. Обратные тригонометрические функции
Арксинус: \( y = \arcsin x \)
- \( D(f) = [-1, 1] \)
- \( E(f) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \)
- Нечётная функция
Арккосинус: \( y = \arccos x \)
- \( D(f) = [-1, 1] \)
- \( E(f) = [0, \pi] \)
Арктангенс: \( y = \arctan x \)
- \( D(f) = \mathbb{R} \)
- \( E(f) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \)
- Нечётная функция
Арккотангенс: \( y = \text{arccot } x \)
- \( D(f) = \mathbb{R} \)
- \( E(f) = (0, \pi) \)
Обратные тригонометрические функции
6. Гиперболические функции
Гиперболический синус: \( y = \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \)
- \( D(f) = \mathbb{R} \)
- \( E(f) = \mathbb{R} \)
- Нечётная функция
Гиперболический косинус: \( y = \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \)
- \( D(f) = \mathbb{R} \)
- \( E(f) = [1, +\infty) \)
- Чётная функция
Гиперболический тангенс: \( y = \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} \)
- \( D(f) = \mathbb{R} \)
- \( E(f) = (-1, 1) \)
- Нечётная функция
Гиперболический котангенс: \( y = \coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} \)
- \( D(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\} \)
- \( E(f) = (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \)
- Нечётная функция
7. Преобразования элементарных функций
Основные преобразования:
- \( y = f(x) + a \) — сдвиг вдоль OY
- \( y = f(x + a) \) — сдвиг вдоль OX
- \( y = kf(x) \) — растяжение вдоль OY
- \( y = f(kx) \) — сжатие вдоль OX
- \( y = -f(x) \) — отражение относительно OX
- \( y = f(-x) \) — отражение относительно OY
Преобразования элементарных функций
8. Композиции элементарных функций
Из основных элементарных функций можно строить сложные функции с помощью:
Арифметических операций:
- Сложение: \( f(x) + g(x) \)
- Вычитание: \( f(x) - g(x) \)
- Умножение: \( f(x) \cdot g(x) \)
- Деление: \( \frac{f(x)}{g(x)} \)
Композиции функций:
- \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
- \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
Примеры сложных элементарных функций:
- \( y = \sin(x^2) \)
- \( y = e^{\cos x} \)
- \( y = \ln(1 + x^2) \)
- \( y = \sqrt{\tan x} \)
Историческая справка
Понятие элементарных функций сформировалось в XVIII веке в работах Леонарда Эйлера. Именно Эйлер ввёл обозначения для большинства элементарных функций и систематизировал их свойства.
Теория элементарных функций является фундаментом математического анализа и находит applications во всех областях науки и техники.