Законы композиции
Эта лекция посвящена фундаментальному понятию алгебры — законам композиции. Мы изучим основные свойства алгебраических операций и их классификацию, что является основой для дальнейшего изучения алгебраических структур.
Определение закона композиции
Определение 1. Пусть \( M \) — произвольное непустое множество. Внутренним бинарным законом композиции (или алгебраической операцией) на множестве \( M \) называется отображение:
\( *: M \times M \to M \)
которое каждой упорядоченной паре \( (a, b) \in M \times M \) ставит в соответствие однозначно определённый элемент \( c = a * b \in M \).
Обозначения и терминология:
- Множество \( M \) с заданной операцией \( * \) называется группоидом
- Операция называется внутренней, так как результат операции принадлежит тому же множеству
- Операция называется бинарной, так как имеет два аргумента
1. Основные свойства законов композиции
Определение 2. Ассоциативность
Операция \( * \) называется ассоциативной, если для любых \( a, b, c \in M \) выполняется:
\( (a * b) * c = a * (b * c) \)
Примеры: сложение и умножение чисел, композиция функций
Контрпример: вычитание, деление, возведение в степень
Определение 3. Коммутативность
Операция \( * \) называется коммутативной, если для любых \( a, b \in M \) выполняется:
\( a * b = b * a \)
Примеры: сложение чисел, умножение чисел
Контрпример: вычитание, деление, умножение матриц
Определение 4. Замкнутость
Подмножество \( N \subseteq M \) называется замкнутым относительно операции \( * \), если для любых \( a, b \in N \) выполняется:
\( a * b \in N \)
Пример: Чётные числа замкнуты относительно сложения и умножения
Контрпример: Нечётные числа не замкнуты относительно сложения
Определение 5. Дистрибутивность
Если на множестве \( M \) заданы две операции \( + \) и \( \cdot \), то операция \( \cdot \) называется дистрибутивной относительно \( + \), если для любых \( a, b, c \in M \) выполняется:
\( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \)
\( (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \)
2. Специальные элементы
Определение 6. Нейтральный элемент
Элемент \( e \in M \) называется нейтральным элементом (единицей) относительно операции \( * \), если для любого \( a \in M \) выполняется:
\( a * e = e * a = a \)
Теорема 1. Единственность нейтрального элемента
Если нейтральный элемент существует, то он единственный.
Доказательство: Пусть \( e_1 \) и \( e_2 \) — нейтральные элементы. Тогда:
\( e_1 = e_1 * e_2 = e_2 \) □
Определение 7. Обратный элемент
Если существует нейтральный элемент \( e \), то элемент \( a' \in M \) называется обратным (симметричным) для \( a \in M \), если:
\( a * a' = a' * a = e \)
Теорема 2. Единственность обратного элемента
Если операция ассоциативна и обратный элемент существует, то он единственный.
Доказательство: Пусть \( a' \) и \( a'' \) — обратные для \( a \). Тогда:
\( a' = a' * e = a' * (a * a'') = (a' * a) * a'' = e * a'' = a'' \) □
3. Регулярные (сократимые) элементы
Определение 8. Регулярный элемент
Элемент \( a \in M \) называется регулярным (сократимым) относительно операции \( * \), если для любых \( x, y \in M \) из равенства \( a * x = a * y \) следует \( x = y \) (левая регулярность), и из равенства \( x * a = y * a \) следует \( x = y \) (правая регулярность).
Если элемент регулярен слева и справа, он называется регулярным.
Теорема 3. Обратимый элемент регулярен
Если элемент \( a \in M \) имеет обратный элемент относительно ассоциативной операции, то он регулярен.
Доказательство: Пусть \( a * x = a * y \). Умножим слева на \( a^{-1} \):
\( a^{-1} * (a * x) = a^{-1} * (a * y) \)
\( (a^{-1} * a) * x = (a^{-1} * a) * y \)
\( e * x = e * y \)
\( x = y \) □
4. Классификация алгебраических структур
Группоид
Множество с одной бинарной операцией
\( (M, *) \)
Полугруппа
Ассоциативный группоид
\( (M, *) \), где \( * \) — ассоциативна
Моноид
Полугруппа с нейтральным элементом
\( (M, *, e) \)
Группа
Моноид, в котором каждый элемент имеет обратный
\( (G, *, e, ^{-1}) \)
Абелева группа
Коммутативная группы
\( (G, +, 0, -) \)
5. Примеры различных законов композиции
Пример 1. Числовые множества
- \( (\mathbb{Z}, +) \) — абелева группа
- \( (\mathbb{R}, \cdot) \) — группоид (не группа, так как 0 не имеет обратного)
- \( (\mathbb{R}\setminus\{0\}, \cdot) \) — абелева группа
- \( (\mathbb{N}, +) \) — коммутативный моноид
Пример 2. Матрицы
- \( (M_{n}(\mathbb{R}), +) \) — абелева группа
- \( (M_{n}(\mathbb{R}), \cdot) \) — некоммутативный моноид
- \( (GL_{n}(\mathbb{R}), \cdot) \) — некоммутативная группа
Пример 3. Функции
- \( (F(X), \circ) \) — некоммутативный моноид
- \( (S(X), \circ) \) — группа подстановок
- \( (B(X), +) \) — булева алгебра
Пример 4. Нестандартные операции
- \( (\mathbb{Z}, *): a * b = a + b - ab \)
- \( (\mathbb{R}, \star): a \star b = \sqrt{a^2 + b^2} \)
- \( ([0,1], \otimes): a \otimes b = a + b - ab \)
6. Таблицы Кэли
Для конечных множеств закон композиции можно задавать с помощью таблицы Кэли:
Пример 5. Группа симметрий треугольника
| * | e | a | b |
|---|---|---|---|
| e | e | a | b |
| a | a | b | e |
| b | b | e | a |
Циклическая группа порядка 3
Анализ таблицы Кэли
- Операция ассоциативна
- Элемент e — нейтральный
- Обратные элементы:
- \( e^{-1} = e \)
- \( a^{-1} = b \)
- \( b^{-1} = a \)
- Все элементы регулярны
- Операция коммутативна
7. Контрольные вопросы и упражнения
Вопросы для самопроверки:
- Дайте определение внутреннего бинарного закона композиции.
- Что такое ассоциативная операция? Приведите примеры.
- Сформулируйте определение нейтрального элемента и докажите его единственность.
- Что такое обратный элемент? При каких условиях он существует и единственен?
- Дайте определение регулярного элемента и докажите, что обратимый элемент регулярен.
Упражнения:
- Проверьте, является ли операция \( a * b = \frac{a + b}{1 + ab} \) на множестве \( (-1, 1) \) ассоциативной, коммутативной. Найдите нейтральный элемент и обратные элементы.
- Докажите, что во всякой группе выполняется закон сокращения: из \( a * b = a * c \) следует \( b = c \).
- Исследуйте операцию \( a \star b = a^2 + b^2 \) на множестве действительных чисел на ассоциативность, коммутативность, существование нейтрального и обратных элементов.
- Постройте таблицу Кэли для симметрической группы \( S_3 \).
Историческая справка
Понятие закона композиции было систематически разработано в работах Артура Кэли в XIX веке. Именно Кэли ввёл табличный способ задания операций на конечных множествах.
Теория алгебраических операций является фундаментом современной алгебры и находит применения в криптографии, теории кодирования, квантовой механике и других областях науки.