Параллельное, последовательное и смешанное соединение резисторов

Резисторы в электрических цепях могут соединяться тремя основными способами:
✅ Последовательно – один за другим, образуя единый путь для тока.
✅ Параллельно – подключены к одним и тем же узлам, создавая альтернативные пути.
✅ Смешанно – комбинация последовательного и параллельного соединений.

Последовательно

Параллельн

Смешанно

Последовательное соединение резисторов

Основные свойства

• Ток через все резисторы одинаков $$ I = I_1 = I_2 = ... = I_n $$

• Напряжение распределяется пропорционально сопротивлениям.

• Общее сопротивление равно сумме сопротивлений всех резисторов.

Формулы для расчётов

• Общее сопротивление:$$ R_{общ} = R_1 + R_2 + \dots + R_n $$
• Напряжение на каждом резисторе (по закону Ома):$$ U_{k} = I\cdot R_k $$
• Общее напряжение: $$ U_{общ} = U_1 + U_2 + \dots + U_n $$

Пример расчёта

Дано:

$$ \begin{aligned} & R_1=2\spaceОм;\\&R_2=4\spaceОм;\\&U = 12\spaceВ; \end{aligned} $$

Решение:

Общее сопротивление при последовательном соединении:

$$ R_{\text{общ}} = R_1 + R_2 = 2 + 4 = 6 \, \text{Ом} $$

Ток в цепи по закону Ома:

$$ I = \frac{U}{R_{\text{общ}}} = \frac{12}{6} = 2 \, \text{А} $$

Где применяется?

• Увеличение пропускной способности цепи.
• Разделение токов в сложных схемах.

Параллельное соединение резисторов

Основные свойства

• Напряжение на всех резисторах одинаково

  $$ U = U_1 = U_2 = ... = U_n $$

• Ток делится обратно пропорционально сопротивлениям.

• Общее сопротивление меньше наименьшего из резисторов.

Формулы для расчётов

• Общее сопротивление (для двух резисторов):

  $$ R_{общ} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} $$

• Общее сопротивление (для n резисторов):

  $$ \frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n} $$

• Ток через каждый резистор:

  $$ I_k = \frac{U}{R_k} $$

• Общий ток:

  $$ I_{общ} = I_1 + I_2 + \dots + I_n $$

Пример расчёта

Дано:

$$ \begin{aligned} & R_1=2\spaceОм;\\&R_2=4\spaceОм;\\&U = 12\spaceВ; \end{aligned} $$

Решение:

$$ \frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{2}+\frac{1}{4} = 0.75 Ом \Rightarrow R_{общ}=\frac{4}{3} $$

$$ I_1 = \frac{12}{2} = 6А $$

$$ I_2 = \frac{12}{4} = 3А $$

$$ I_{общ} = 6+3=9А $$

Где применяется?

• Увеличение пропускной способности цепи.
• Разделение токов в сложных схемах.

Смешанное соединение резисторов

Основные свойства

• Комбинация последовательного и параллельного соединений.

• Расчёт ведётся поэтапно: сначала упрощаются параллельные и последовательные участки.

Алгоритм расчёта

1. Выделить параллельные и последовательные участки.

2. Рассчитать эквивалентное сопротивление для каждого участка.

3. Заменить участки эквивалентными резисторами.

4. Повторять, пока не получится одно сопротивление.

Пример расчёта

По заданной схеме требуется:

1. Найти общее сопротивление между точками A и B.

2. Рассчитать токи во всех резисторах, если к цепи приложено напряжение 24 В.

3. Определить напряжения на каждом резисторе.

Решение

• Резисторы R2 и R3 соединены параллельно.

• Их эквивалент соединён последовательно с R1.

• Вся эта цепь соединена параллельно с R4 и R5.

$$ \frac{1}{R_{23}} = \frac{1}{R2} + \frac{1}{R3} = \frac{1}{12} + \frac{1}{8} = \frac{5}{24} $$

$$ R_{23} = \frac{24}{5} = 4.8\ \text{Ом} $$

$$ R_{1-23} = R1 + R_{23} = 4 + 4.8 = 8.8\ \text{Ом} $$

$$ \frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_{1-23}} + \frac{1}{R4} + \frac{1}{R5} = \frac{1}{8.8} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} $$

$$ \frac{1}{R_{общ}} \approx0.1136 + 0.1667 + 0.3333 = 0.6136 $$

$$ R_{общ} \approx \frac{1}{0.6136} \approx 1.63 \text{Ом} $$

• Напряжение на R4 и R5 = 24 В (параллельное соединение).

  $$ I_{R4} = \frac{24}{6} = 4\ \text{А}, \quad I_{R5} = \frac{24}{3} = 8\ \text{А} $$

• Ток через R1-23:

  $$ I_{R1-23} = \frac{24}{8.8} \approx 2.727\ \text{А} $$

  • Этот ток проходит через R1 и R23.

  • Напряжение на R1:

    $$ U_{R1} = I_{R1-23} \cdot R1 = 2.727 \cdot 4 \approx 10.91\ \text{В} $$

  • Напряжение на R23:

    $$ U_{R23} = 24 - 10.91 \approx 13.09\ \text{В} $$

  • Токи через R2 и R3:

    $$ I_{R2} = \frac{U_{R23}}{R2} = \frac{13.09}{12} \approx 1.09\ \text{А}, \quad I_{R3} = \frac{13.09}{8} \approx 1.636\ \text{А} $$

$$ I_{общ} = I_{R4} + I_{R5} + I_{R1-23} = 4 + 8 + 2.727 \approx 14.73\ \text{А} \quad (\approx 14.72\ \text{А}) $$