Законы Кирхгофа
Законы Кирхгофа – фундаментальные принципы, лежащие в основе анализа электрических цепей. Разработаны Густавом Кирхгофом в 1845 году.
-
Узел – точка соединения трёх и более ветвей
-
Ветвь – участок цепи между двумя узлами
-
Контур – замкнутый путь, проходящий через несколько ветвей
Первый закон Кирхгофа (Закон токов, ЗТК)
Формулировка
Алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю:
$$ \sum_{k=1}^n I_k = 0 \\ где\ n - количество ветвей, соединённых\ в\ узле. $$
Закон Кирхгофа на примере (рис.1)
$$ I_1 = I_2 + I_3 $$
Что-бы подтвердить справедливость формулировки, перенесём токи I1 и I2 в левую часть выражения:
$$ I_1 - I_2 - I_3 = 0 $$
Правила знаков
-
Входящие токи (+)
-
Выходящие токи (-)
Физический смысл
Закон вытекает из принципа непрерывности тока и закона сохранения заряда.
Второй закон Кирхгофа (Закон напряжений, ЗНК)
Формулировка
Алгебраическая сумма ЭДС в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме падений напряжений на всех элементах контура:
$$ \begin{aligned} &\sum E_k = \sum (I_m \cdot R_m)\\ &E_k - ЭДС\ источников\\ &I_m - токи\ в\ ветвях\\ &R_m - сопротивления\\ элементов \end{aligned} $$
Правила знаков
-
ЭДС:
-
(+) если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура
-
(-) если противоположно
-
-
Падения напряжений:
-
(+) если направление тока совпадает с направлением обхода
-
(-) если противоположно
-
Физический смысл
Закон отражает закон сохранения энергии в замкнутом контуре.
Расчеты электрической цепи
Для примера рассмотрим схему с двумя источниками питания, включёнными параллельно. При этом одна ЭДС напряжением Е1=10 В, вторая Е2=20 В. Сопротивление нагрузки R1=10 Ом, R2=20 Ом, R3=40 Ом.
$$ I_1+I_2=I_3 $$
Применим второй закон Кирхгофа для первого контура:$$ \begin{aligned} &I_1R_1+I_3R_3=E_1\\ &10I_1+40I_3 = 10\\ &I_1+4I_3=1 \end{aligned} $$
Применим второй закон Кирхгофа для второго контура:$$ \begin{aligned} &I_2R_2+I_3R_3=E_2\\ &20I_1+40I_3 = 20\\ &2I_3+I_2=1 \end{aligned} $$
Все эти три уравнения образуют систему уравнений:$$ \begin{cases} I_1R_1+I_3R_3=E_1\\ I_2R_2+I_3R_3=E_2\\ I_3 - I_1-I_2=0 \end{cases} $$
Подставив известные значения и решив данную линейную систему уравнений, найдем токи в ветвях (способ решения может быть любым).
$$ \begin{cases} I_1 \approx -0.143 A\\ I_2 \approx 0.429 A\\ I_3 \approx 0.286 A \end{cases} $$
Законы Кирхгофа – основной инструмент анализа цепей любой сложности. Они позволяют рассчитывать токи, напряжения и мощности в сложных схемах.